zadanie - wielomiany

[Dawid]

Mam takie zadanie:
Dla jakich warto¶ci parametru m pierwiastki x1, x2, x3 równania
x^3-3x^2-6x+m = 0 spe³niaj± warunki x2 = x1*q, x3 = x1*q^2? Wyznacz te
pierwiastki.

Mam problem z tym zadaniem, jak siê rozwi±zuje tego typu zadania?

[PFG]

Dla jakich wartości parametru m pierwiastki x1, x2, x3 równania
x^3-3x^2-6x+m = 0 spełniają warunki x2 = x1*q, x3 = x1*q^2? Wyznacz te
pierwiastki.
Mam problem z tym zadaniem, jak się rozwiązuje tego typu zadania?

Skoro x1, x2, x3 są pierwiastkami tego wielomianu, musi zachodzić

x^3 - 3x^2-6x + m = (x-x1)(x-x2)(x-x3)

Podswtaw za x2, x3 to, co masz podane w treści zadania. Równość ma
zachodzić dla wszystkich x, a więc równe muszą być współczynniki przy
odpowiednich potęgach x. Dostaniesz układ równań, który trzeba
rozwiązać.

[Kosodrzewina]

Post by PFG

Dla jakich wartości parametru m pierwiastki x1, x2, x3 równania
x^3-3x^2-6x+m = 0 spełniają warunki x2 = x1*q, x3 = x1*q^2? Wyznacz te
pierwiastki.

Skoro x1, x2, x3 są pierwiastkami tego wielomianu, musi zachodzić
x^3 - 3x^2-6x + m = (x-x1)(x-x2)(x-x3)
Podswtaw za x2, x3 to, co masz podane w treści zadania. Równość ma
zachodzić dla wszystkich x, a więc równe muszą być współczynniki przy
odpowiednich potęgach x. Dostaniesz układ równań, który trzeba
rozwiązać.

Doskonale. Jednak dalej pytający może mieć wątpliwości, bo otrzyma 3
równania ( współczynniki przy x^2, x i wyraz wolny a obliczyć ma 2
wartości ( x1 i q). Na szczęście dwa równania są zależne. Do obliczenia
q należy rozwiązać równanie kwadratowe i stąd dwie wartości q ( a
konsekwencji dwie wartości x1). Jeżeli jednak dobrze przypatrzeć się
wynikom to jest to 1 rozwiązanie!.

Wszystkie wyniki (x1,x2,x3,m,i jedno q) to liczby całkowite!

[Dawid]

apropo tych dwóch równañ, nie potrafiê ich wyliczyæ. Równania jakie mi
powsta³y to:
(-x1q-x1-x1q^2)=-3
(x1^2q^3+x1^2q^2)=-6

[Kosodrzewina]

apropo tych dwóch równań, nie potrafię ich wyliczyć. Równania jakie mi
(-x1q-x1-x1q^2)=-3
(x1^2q^3+x1^2q^2)=-6

Drugie równanie złe

powinno być x1(q+q^2+q^3) = -6
a trzecie -x1q^3 = m

[Dawid]

a nie powinno byæ: x1^2(q^3+q^2+q) = -6

[Kosodrzewina]

a nie powinno być: x1^2(q^3+q^2+q) = -6

tak, błąd przy przepisywaniu.

zabierz się do roboty. problem jest prosty. mnie już nie ma ;)

[Dawid]

No ale ja nie wiem jak to rozwi±zaæ te dwa równania, wyznaczam w jednym x1 i
podstawiam do drugiego i zacinam siê

[PFG]

No ale ja nie wiem jak to rozwiązać te dwa równania, wyznaczam w jednym x1 i
podstawiam do drugiego i zacinam się

Wyciągnij z lewych stron obu równań przed nawias co się da i podziel
jedno równanie przez drugie (sprawdź, że wolno dzielić, to znaczy,
że nie dzielisz przez zero). A dalej już sam.

[Dawid]

a jak siê dzieli jedno równanie przez drugie

[PFG]

a jak się dzieli jedno równanie przez drugie

A jak się dodaje jedno równanie do drugiego?

[Dawid]

Na stronie www.dawido.neostrada.pl zacz±³em rozwi±zywanie tych równañ, ale
ja naprawde nie wiem co dalej zrobiæ.

[Kompaner]

Na stronie www.dawido.neostrada.pl zacząłem rozwiązywanie tych równań, ale
ja naprawde nie wiem co dalej zrobić.

Witam!
Z dwóch pierwszych równań wynika, że
x1*q = -2
Najprościej wyliczyć x1 z pierwszego równania i wstawić do drugiego, bo
q2+q+1 jest zawsze dodatnie, więc nigdy zerem, więc można je wstawić
bezpiecznie do mianownika.
Z mnożenia trzech czynników liniowych wynika, że
m = (x1)^3 * q^3
czyli
m = [x1 * q] ^3
m = (-2)^3 = -8
A dalej chyba prosto?
Kompaner

[Dawid]

A jak dosz³e¶ do tego, ¿e x1*q = -2? Mi to nic takiego nie wychodzi, albo po
prostu nie wiem co zrobiæ, ¿eby tak wysz³o.

[Kompaner]

A jak doszłeś do tego, że x1*q = -2? Mi to nic takiego nie wychodzi, albo
po prostu nie wiem co zrobić, żeby tak wyszło.

Witam!
Po pierwsze - doszedłeś.
Ad meritum.
Z pierwszego równania wychodzi
x1 = 3/(q2+q+1).
Wolno zawsze, bo (q2+q+1) > 0.
Drugie zapisujesz tak
x1 * x1 * q * (q2+q+1) = -6
Zamiast jednego x1 wstawiasz to pierwsze wyliczenie.
[3/(q2+q+1)] * x1 * *q * (q2+q+1) = -6
(q2+q+1) się skrócą, więc dzielisz obie strony przez 3 i masz
x1 * q = -2.

Kompaner

[Dawid]

aha dziêki

[Dawid]

ale potem wyliczam m, tak?