Obliczanie granicy ciągu o wyrazie ogólnym, wątpliwości

[a***@gmail.com]

Witam,
Mam takie ciągi i nie wiem czy dobrze je rozwiązałem :)

1. u (n -> oo) = (n - 10) / 3

Według mnie podstawiając za n kolejne liczby ze zbioru liczb
naturalnych widać, że ciąg rośnie nieograniczenie czyli do oo
(nieskończoności)

2. u (n -> oo) = ((-0,8)^n) / (2n - 5)
Rozwiązanie należy opierać na wiadomościach o ciągu geometrycznym: u
(n -> oo) = q^n Jeżeli -1 < q < 1, to lim (n->oo) q^n = 0

Ktoś oceni i ewentualnie poprawi, wytłumaczy jak ma być?
pozdrawiam

[Paulina Trzeciak]

Pitagorass twierdzi ze matematyka ¶mierdzi a tlless dowodzi ze to nic nei
szkodzi :)
U�ytkownik <***@gmail.com> napisa� w wiadomo�ci news:***@y27g2000pre.googlegroups.com...
Witam,
Mam takie ci±gi i nie wiem czy dobrze je rozwi±za³em :)

1. u (n -> oo) = (n - 10) / 3

Wed³ug mnie podstawiaj±c za n kolejne liczby ze zbioru liczb
naturalnych widaæ, ¿e ci±g ro¶nie nieograniczenie czyli do oo
(nieskoñczono¶ci)

2. u (n -> oo) = ((-0,8)^n) / (2n - 5)
Rozwi±zanie nale¿y opieraæ na wiadomo¶ciach o ci±gu geometrycznym: u
(n -> oo) = q^n Je¿eli -1 < q < 1, to lim (n->oo) q^n = 0

Kto¶ oceni i ewentualnie poprawi, wyt³umaczy jak ma byæ?
pozdrawiam

[wieslaw.kruszewski]

Pitagorass twierdzi ze matematyka śmierdzi a tlless dowodzi ze to nic nei
szkodzi :)

Pierwsze nie prawdziwe. Dowodu Talesa na drugie nie znam.
Ale ludowe porzekadło głośi, że od smrodu nikt jeszcze nie umarł,
zatem epirycznie rzecz biorąc, ....Tales pewnie dowiódł twierdzenia.
Ukłony!

Mam takie ciągi i nie wiem czy dobrze je rozwiązałem :)
1. u (n -> oo) = (n - 10) / 3

u(n oo) = lim (3/n) - lim (10/3) dla n oo jest oczywiste.

2. u (n -> oo) = ((-0,8)^n) / (2n - 5)
Rozwiązanie należy opierać na wiadomościach o ciągu geometrycznym: u
(n -> oo) = q^n Jeżeli -1 < q < 1, to lim (n->oo) q^n = 0
Ktoś oceni i ewentualnie poprawi, wytłumaczy jak ma być?
pozdrawiam

Po podzieleniu licznika i mianownika prawej strony i wykonaniu
działań i po napisani w postaci iloczynu mamy :
u(n oo) = lim {[ (-8)^n] / 2*10^n ] * ( 1/n) } ; korzystając z :
granica iloczynu równa jest iloczynowi granic czynników i zauważając,
że granica 1/n dla n oo jest równa zero a każda liczba pomnożona
przez zero daje w wyniku zero, to dalej już jest oczywiste.

Ukłony.
W.Kr.

[Maciek]

Post by wieslaw.kruszewski

Post by a***@gmail.com
2. u (n -> oo) = ((-0,8)^n) / (2n - 5)
Rozwiązanie należy opierać na wiadomościach o ciągu geometrycznym: u
(n -> oo) = q^n Jeżeli -1 < q < 1, to lim (n->oo) q^n = 0
Ktoś oceni i ewentualnie poprawi, wytłumaczy jak ma być?
pozdrawiam

Po podzieleniu licznika i mianownika prawej strony i wykonaniu
granica iloczynu równa jest iloczynowi granic czynników i zauważając,
że granica 1/n dla n oo jest równa zero a każda liczba pomnożona
przez zero daje w wyniku zero, to dalej już jest oczywiste.

Każda liczba - tak, ale granica ciągu liczbowego
nie musi być liczbą.

Stosując Twój argument do granicy jedynki:
lim_{n\to \infty} 1
moglibyśmy zapisać:
1 = n * (1/n)
i stwierdziwszy, że lim(1/n) = 0 wnioskować, że lim(1) = 0,
co jest oczywiście nieprawdą...

Maciek

[wieslaw.kruszewski]

Post by Maciek
Każda liczba - tak, ale granica ciągu liczbowego
nie musi być liczbą.
lim_{n\to \infty} 1
1 = n * (1/n)
i stwierdziwszy, że lim(1/n) = 0 wnioskować, że lim(1) = 0,
co jest oczywiście nieprawdą...
Maciek

Tu masz rację !
Pozdro.
W.Kr.
PS. A jaką masz propozycję ?
Możesz na priv, ciekawi mnie.

[Maciek]

Post by wieslaw.kruszewski

Post by Maciek
Każda liczba - tak, ale granica ciągu liczbowego
nie musi być liczbą.
lim_{n\to \infty} 1
1 = n * (1/n)
i stwierdziwszy, że lim(1/n) = 0 wnioskować, że lim(1) = 0,
co jest oczywiście nieprawdą...

Tu masz rację !
Pozdro.
W.Kr.
PS. A jaką masz propozycję ?
Możesz na priv, ciekawi mnie.

To nie moja propozycja... ale jest taka:
http://pl.wikipedia.org/wiki/Granica_ci%C4%85gu
szczególnie punkt "Własności". Powiedziano tam między innymi,
że __JEŻELI__ ciągi (a_n) i (b_n) są zbieżne -- czyli każdy
z nich _ma_ granicę -- TO granicą ciągu (a_n * b_n) jest
iloczyn granic.

Tak więc do wniosku, że granicą (K_n * 1/n) jest zero,
nie wystarczy pokazać, że granicą (1/n) jest zero; TRZEBA
jeszcze pokazać, że ciąg (K_n) ma granicę (jest zbieżny).
W przypadku wyrażenia, które podałeś -- że ((-8)^n/10^n)
jest zbieżny.

Pokazałem przykład z jedynką, w którym pierwszy czynnik jest
rozbieżny -- ciąg (n) nie ma granicy. W tym przypadku reguła
"granica iloczynu równa się iloczynowi granic" nie zachodzi,
bo mamy graniczny iloczyn "nieskończoność * zero", w którym
pierwszy czynnik nie jest liczbą.

W takim przypadku granicę trzeba liczyć jakoś inaczej; bywa,
że uda się inny podział na czynniki, czasem znajdzie się jakiś
ciąg ograniczający ciąg badany... Jeśli uda się znaleźć dwa
ciągi, ograniczające z przeciwnych stron, to może da się
zastosować tw. o trzech ciągach...
http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_o_trzech_ci%C4%85gach


Maciek

[Tomek S.]

Post by Maciek
Tak więc do wniosku, że granicą (K_n * 1/n) jest zero,
nie wystarczy pokazać, że granicą (1/n) jest zero; TRZEBA
jeszcze pokazać, że ciąg (K_n) ma granicę (jest zbieżny).
W przypadku wyrażenia, które podałeś -- że ((-8)^n/10^n)
jest zbieżny.

Wystarczy żeby (K_n) był ograniczony.

[Maciek]

Post by Tomek S.

Post by Maciek
Tak więc do wniosku, że granicą (K_n * 1/n) jest zero,
nie wystarczy pokazać, że granicą (1/n) jest zero; TRZEBA
jeszcze pokazać, że ciąg (K_n) ma granicę (jest zbieżny).
W przypadku wyrażenia, które podałeś -- że ((-8)^n/10^n)
jest zbieżny.

Wystarczy żeby (K_n) był ograniczony.

Do zastosowania TEGO twierdzenia nie wystarczy.
Ograniczoność nie implikuje zbieżności, a bez granicy
ciąg taki nie spełnia założenia:
"Jeżeli ciągi (a_n) i (b_n) są ZBIEŻNE...."


Maciek

[Tomek S.]

Post by Maciek

Post by Tomek S.

Post by Maciek
Tak więc do wniosku, że granicą (K_n * 1/n) jest zero,
nie wystarczy pokazać, że granicą (1/n) jest zero; TRZEBA
jeszcze pokazać, że ciąg (K_n) ma granicę (jest zbieżny).
W przypadku wyrażenia, które podałeś -- że ((-8)^n/10^n)
jest zbieżny.

Wystarczy żeby (K_n) był ograniczony.

Do zastosowania TEGO twierdzenia nie wystarczy.

OK. To była taka uwaga do tego przypadku i twierdzenia (nie poprawności
stosowania twierdzenia), bo czasem warto skorzystać z możliwości
osłabienia założenia (zbieżność implikuje ograniczoność).

[Maciek]

Post by Maciek

Post by Tomek S.

Post by Maciek
Tak więc do wniosku, że granicą (K_n * 1/n) jest zero,
nie wystarczy pokazać, że granicą (1/n) jest zero; TRZEBA
jeszcze pokazać, że ciąg (K_n) ma granicę (jest zbieżny).
(....)

Wystarczy żeby (K_n) był ograniczony.

Do zastosowania TEGO twierdzenia nie wystarczy.

OK. To była taka uwaga do tego przypadku (....)
bo czasem warto skorzystać z możliwości osłabienia
założenia (zbieżność implikuje ograniczoność).

Zgadza się. Ale wtedy to będzie już całkiem inne twierdzenie,
i inna reguła postępowania. Dlatego wspomniałem w ostatnim
akapicie o innych możliwościach, jak szukanie innych ciągów,
ograniczających z jednej lub z obu stron.

Bo choć twierdzenie o iloczynie granic przydaje się, to
łatwo skonstruować przykład, który łamie jego założenia,
a mimo tego granicę "widać". Takim przypadkiem właśnie
jest n * 1/n. Innym może być para ciągów:
a_n = (1 + (-1)^n ) * n
b_n = (1 + (-1)^(n+1)) * n
Żaden nie jest zbieżny, ani nawet ograniczony,
a dają iloczyn stały - zerowy:
a_n * b_n = 0.


Maciek

[A.L.]

On Fri, 19 Oct 2007 14:40:32 +0200, "Maciek"

Post by Maciek
Każda liczba - tak, ale granica ciągu liczbowego
nie musi być liczbą.

Moze byc zajonczkiem?...

A.L.

[H.D.]

U¿ytkownik "A.L." napisa³

Post by A.L.

Ka¿da liczba - tak, ale granica ci±gu liczbowego
nie musi byæ liczb±.

Moze byc zajonczkiem?...

Mogl miec na mysli , ze nie jedna liczba.
Na przyklad
sin(n*pi/256)

H.D.

[A.L.]

Użytkownik "A.L." napisał

Post by A.L.

Post by Maciek
Każda liczba - tak, ale granica ciągu liczbowego
nie musi być liczbą.

Moze byc zajonczkiem?...

Mogl miec na mysli , ze nie jedna liczba.
Na przyklad
sin(n*pi/256)
H.D.

Co piles dzisiaj?...

A.L.

[Maciek]

Post by A.L.
On Fri, 19 Oct 2007 14:40:32 +0200, "Maciek"

Post by Maciek
Każda liczba - tak, ale granica ciągu liczbowego
nie musi być liczbą.

Moze byc zajonczkiem?...
A.L.

Wątpię w sens odpowiadania temu Panu, skoro publicznie
zadeklarował, że moich wypowiedzi czytać nie będzie.
Nie wiem tylko, czy mu wierzyć, skoro teraz - gdy mu wygodnie,
gdy szuka zaczepki - odpowiada, a przedtem, gdy prosiłem
o wyjaśnienia - udawał że nie widzi? I czego spodziewać
się dalej: czy teraz, gdy odpowiem, przeczyta, czy nie?

Bo jednak odpowiem - reszcie grupy. Otóż granica może
nie istnieć. A coś co nie istnieje z całą pewnością
nie jest liczbą.


Maciek

[PFG]

On Mon, 22 Oct 2007 15:45:08 +0200, "Maciek"

Post by Maciek

Post by A.L.
On Fri, 19 Oct 2007 14:40:32 +0200, "Maciek"

Post by Maciek
Każda liczba - tak, ale granica ciągu liczbowego
nie musi być liczbą.

Otóż granica może
nie istnieć.

Jeśli nie istnieje, to nie istnieje. Zdanie "Nieistniejąca granica
ciągu liczbowego <tu dowolna forma zdaniowa>" nie ma sensu.

[A.L.]

On Mon, 22 Oct 2007 15:45:08 +0200, "Maciek"

Post by Maciek

Post by A.L.
On Fri, 19 Oct 2007 14:40:32 +0200, "Maciek"

Post by Maciek
Każda liczba - tak, ale granica ciągu liczbowego
nie musi być liczbą.

Moze byc zajonczkiem?...
A.L.

Wątpię w sens odpowiadania temu Panu, skoro publicznie
zadeklarował, że moich wypowiedzi czytać nie będzie.
Nie wiem tylko, czy mu wierzyć, skoro teraz - gdy mu wygodnie,
gdy szuka zaczepki - odpowiada, a przedtem, gdy prosiłem
o wyjaśnienia - udawał że nie widzi? I czego spodziewać
się dalej: czy teraz, gdy odpowiem, przeczyta, czy nie?
Bo jednak odpowiem - reszcie grupy. Otóż granica może
nie istnieć. A coś co nie istnieje z całą pewnością
nie jest liczbą.

Jak nei istnieje, to nei istnieje. NEI MA JEJ. Wiec trudno zeby
czyms byla.

A.L.

[Antek Laczkowski]

Dnia 19-10-2007 o 13:51:01 wieslaw.kruszewski
<***@gmail.com> napisał(a):
[wzory]
A czy ja mógłbym proszę, dostać te wzory, o których piszecie,
bo u mnie ani ułamki, ani inne zabawki się nie pojawiają :(
Cholerna Opera, przekłamuje. Z tego, co się zorientowałem,
to chodzi o granicę ułamka, dążącego do 1/3, od którego
się odejmuje 1/3. I czy to dąży do zera. Nie widzę problemu,
wspólny mianownik, dzielenie przez 'n', aby pokazać zerujące się
kawałki. Ale nie mam tego oryginalnego wzoru, mogę prosić
o niego, najbardziej ASCII jak można, aby moja kochana przeglądarka
nie zjadła szczegółów?

Antek

[Łukasz Kalbarczyk]

Pitagorass twierdzi ze matematyka śmierdzi a tlless dowodzi ze to nic nei
szkodzi :)

Idź się wymaluj.

[Małgorzata .Pompka]

Pitagorass twierdzi ze matematyka śmierdzi a tlless dowodzi ze to nic nei
szkodzi :)

ty to nie bądź taka cwana
jak ktos chce pomocy to nie znaczy, ze należy go nie szanować
Paulino jak sama nie umiesz rozwiazywac ciagów , to przynajmiej miej
troche honoru by sie nie wypowiadać w temacie.
zreszta kto to taki ten "tlless"
jak sienudzisz to wziełabys sie za jakaś całke z pochodnej i obliczyła
a nie takie bzdety pletła