Mark
2007-11-26 11:04:11 UTC
Cześć,
spotkałem się z następującymi definicjami funkcji
jednostajnie ciągłych:
1. Powiadamy, że funkcja f(x) określona w przedziale
(a, b) jest jednostajnie ciągła w tym przedziale,
jeżeli obrawszy sobie dowolną liczbę epsilon>0,
możemy podzielić przedział (a, b) na skończoną liczbę
odcinków w ten sposób, że wartości funkcji w w dwu
dowolnych punktach tego samego odcinka różnią się
od siebie o mniej niż epsilon.
2. Dla każdej liczby epsilon>0 istnieje liczba
delta>0 taka, że dla dowolnej pary liczb x, u
należących do zbioru A z nierówności
|x-u|<delta wynika nierówność |f(x)-f(u)|<epsilon;
(Matematyka, Encyklopedia, WSiP, 1988)
i mam pytanie: czy któraś z nich jest błędna? Moim
zdaniem ewidentnie tak, bo np. gdy obierzemy jakiś
przedział (a,b) dla funkcji y=x^2, to:
1. da się
tenże przedział podzielić na skończoną liczbę odcinków
w ten sposób, że wartości funkcji w dwu dowolnych
punktach tego samego odcinka będą się różniły od siebie
o mniej niż epsilon.
(czyli funkcja jest jednostajnie ciągła w myśl
definicji 1)
2. nie da się wskazać takiego delta, że dla dowolnej
pary liczb x,u należącej do przedziału (a,b) z nierówności
|x-u|<delta wynika nierówność |f(x)-f(u)|<epsilon
(czyli funkcja nie jest jednostajnie ciągła w myśl
definicji 2).
Jeżeli gdzieś w powyższym rozumowaniu jest błąd, to będe
wdzięczny za wskazanie go. Ponadto, o ile nie sprawi
to większego kłopotu, to chciałbym zobaczyć
w jaki sposób można udowodnić formalnie, iż definicja
1. jest równoważna definicji 2. Z góry dzięki.
spotkałem się z następującymi definicjami funkcji
jednostajnie ciągłych:
1. Powiadamy, że funkcja f(x) określona w przedziale
(a, b) jest jednostajnie ciągła w tym przedziale,
jeżeli obrawszy sobie dowolną liczbę epsilon>0,
możemy podzielić przedział (a, b) na skończoną liczbę
odcinków w ten sposób, że wartości funkcji w w dwu
dowolnych punktach tego samego odcinka różnią się
od siebie o mniej niż epsilon.
2. Dla każdej liczby epsilon>0 istnieje liczba
delta>0 taka, że dla dowolnej pary liczb x, u
należących do zbioru A z nierówności
|x-u|<delta wynika nierówność |f(x)-f(u)|<epsilon;
(Matematyka, Encyklopedia, WSiP, 1988)
i mam pytanie: czy któraś z nich jest błędna? Moim
zdaniem ewidentnie tak, bo np. gdy obierzemy jakiś
przedział (a,b) dla funkcji y=x^2, to:
1. da się
tenże przedział podzielić na skończoną liczbę odcinków
w ten sposób, że wartości funkcji w dwu dowolnych
punktach tego samego odcinka będą się różniły od siebie
o mniej niż epsilon.
(czyli funkcja jest jednostajnie ciągła w myśl
definicji 1)
2. nie da się wskazać takiego delta, że dla dowolnej
pary liczb x,u należącej do przedziału (a,b) z nierówności
|x-u|<delta wynika nierówność |f(x)-f(u)|<epsilon
(czyli funkcja nie jest jednostajnie ciągła w myśl
definicji 2).
Jeżeli gdzieś w powyższym rozumowaniu jest błąd, to będe
wdzięczny za wskazanie go. Ponadto, o ile nie sprawi
to większego kłopotu, to chciałbym zobaczyć
w jaki sposób można udowodnić formalnie, iż definicja
1. jest równoważna definicji 2. Z góry dzięki.