co to jest: suma mnogościowa?

[Adam Dziendziel]

Witajcie,

co rozumie się przez pojęcie "suma mnogościowa"?

W testach na UJ często pojawia się jakieś równanie i jako wariant
odpowiedzi występuje "jest to suma mnogościowa dwóch prostych".

[Stachu 'Dozzie' K.]

Post by Adam Dziendziel
co rozumie się przez pojęcie "suma mnogościowa"?

Niech \cup oznacza to, na co mówi się "suma mnogościowa". \cup jest
zdefiniowane następująco:

A \cup B = { x: x \in A \or x \in B }

gdzie:
A, B -- zbiory
\in -- operator przynależenia do zbioru
\or -- alternatywa logiczna

\cup jest zwykle oznaczane przez znaczek przypominający małe 'u'.

Post by Adam Dziendziel
W testach na UJ często pojawia się jakieś równanie i jako wariant
odpowiedzi występuje "jest to suma mnogościowa dwóch prostych".

Potraktuj proste jak zbiory, to zrozumiesz ten wariant.

[Damian Sobota]

Post by Stachu 'Dozzie' K.
\cup jest zwykle oznaczane przez znaczek przypominający małe 'u'.

^^^^^^

Chyba duże? :)

Suma mnogościowa to po prostu suma dwóch zbiorow (np. A={1,2}, B={2,3} -
suma to: A \cup B = {1,2} \cup {2,3} = {1,2,3}).

[Stachu 'Dozzie' K.]

Post by Damian Sobota

Post by Stachu 'Dozzie' K.
\cup jest zwykle oznaczane przez znaczek przypominający małe 'u'.

^^^^^^
Chyba duże? :)

A dlaczego duże? Jakby było duże, to by był \bigcup i to by była
uogólniona suma, a nie prosty operator binarny.

[Damian Sobota]

Post by Stachu 'Dozzie' K.
A dlaczego duże? Jakby było duże, to by był \bigcup i to by była
uogólniona suma, a nie prosty operator binarny.

Mysle ze ta dyskusja jest ogolnie bezsensowna :). Owo \bigcup wyglada
identycznie jak \cup tylko ma inny rozmiar. Male 'u' rozni sie zas od
duzego wygladem (u vs. U). I zarowno \cup jak i \bigcup wygladaja raczej
jak U (tylko roznia sie rozmiarem), niz u.

[Stachu 'Dozzie' K.]

Post by Damian Sobota

Post by Stachu 'Dozzie' K.
A dlaczego duże? Jakby było duże, to by był \bigcup i to by była
uogólniona suma, a nie prosty operator binarny.

Mysle ze ta dyskusja jest ogolnie bezsensowna :).

Również tak uważam, co nie zmienia faktu, że całkiem dobrze nadaje się
do usenetu.

Post by Damian Sobota
Owo \bigcup wyglada
identycznie jak \cup tylko ma inny rozmiar. Male 'u' rozni sie zas od
duzego wygladem (u vs. U). I zarowno \cup jak i \bigcup wygladaja raczej
jak U (tylko roznia sie rozmiarem), niz u.

A, o to chodzi. To już zależy od użytej czcionki. Wprawdzie moja
-misc-fixed-medium-r-normal--14-*-*-*-*-70-iso8859-2 faktycznie
wyświetla duże U bez tej kreseczki z prawej strony, ale w końcu wcale
nie muszę używać właśnie jej.

[Adam Dziendziel]

Post by Damian Sobota
Suma mnogościowa to po prostu suma dwóch zbiorow (np. A={1,2}, B={2,3} -
suma to: A \cup B = {1,2} \cup {2,3} = {1,2,3}).

Dzięki, zrozumiałem już z zapisu Stacha (dzięki!).

Problem w tym, że chyba będę musiał mieć jakiś zapis algebraiczny.
Spójrzcie na takie pytanie:

Zbiór punktów płaszczyzny { (x,y): x^4 = y^4 } to
a) parabola
b) hiperbola
c) prosta
d) suma mnogościowa dwóch prostych
e) suma mnogościowa czterech prostych

Punkty a, b i c odpadają, bo znam ich zapisy. Istnieje jakiś ogólny wzór
na algebraiczne sumowanie równań dwóch czy czterech prostych? Choć w
sumie teraz widzę, że jak to spierwiastkuję dwukrotnie to dostanę
równanie |x|=|y|, czyli odpowiedź d).

PS. Co rozumie się przez pojęcie hiperbola? Po prostu krzywą wyznaczoną
przez dwie prostopadłe asymptoty? Mam wykres funkcji y=1/x i y=1/x^2.
Wykres pierwszej jest wykresem funkcji homograficznej (o którym w szkole
mówiliśmy, że jej wykresem jest hiperbola). Z kolei funkcja druga jest
parzysta, jej wykres nie ma środka symetrii. Można o niej także
powiedzieć, że jej wykresem jest hiperbola?

[Damian Sobota]

Post by Adam Dziendziel
Zbiór punktów płaszczyzny { (x,y): x^4 = y^4 } to
a) parabola
b) hiperbola
c) prosta
d) suma mnogościowa dwóch prostych
e) suma mnogościowa czterech prostych
Punkty a, b i c odpadają, bo znam ich zapisy. Istnieje jakiś ogólny wzór
na algebraiczne sumowanie równań dwóch czy czterech prostych? Choć w
sumie teraz widzę, że jak to spierwiastkuję dwukrotnie to dostanę
równanie |x|=|y|, czyli odpowiedź d).

Tak by wychodzilo, bo:

|x|=|y|
x=|y| v x=-|y|
x=y v -x=y v x=-y v -x=-y => x=y v x=-y

Odpowiedz d.

Post by Adam Dziendziel
PS. Co rozumie się przez pojęcie hiperbola? Po prostu krzywą wyznaczoną
przez dwie prostopadłe asymptoty? Mam wykres funkcji y=1/x i y=1/x^2.
Wykres pierwszej jest wykresem funkcji homograficznej (o którym w szkole
mówiliśmy, że jej wykresem jest hiperbola). Z kolei funkcja druga jest
parzysta, jej wykres nie ma środka symetrii. Można o niej także
powiedzieć, że jej wykresem jest hiperbola?

Definicja: Hiperbola nazywamy zbior wszystkich punktow plaszczyzny, dla
ktorych modul roznicy odleglosci od dwoch ustalonych punktow (zwanych
ogniskami), jest wielkoscia stala.

Czyli odpowiedz na ostatnie pytanie brzmi TAK, bo w przypadku y=1/x^2
tez mozemy wyznaczyc ogniska (wiec jest to hiperbola).

[Maciek]

(.....)

(.....)
Definicja: Hiperbola nazywamy zbior wszystkich punktow plaszczyzny,
dla ktorych modul roznicy odleglosci od dwoch ustalonych punktow
(zwanych ogniskami), jest wielkoscia stala.

A co powiesz o takiej definicji hiperboli...?
Zbiór punktów płaszczyzny, dla których stosunek odległości
od ustalonego punktu, zwanego ogniskiem, i ustalonej prostej,
zwanej kierownicą, jest równy i większy od jedności.

(....) w przypadku y=1/x^2
tez mozemy wyznaczyc ogniska (wiec jest to hiperbola).

A możesz pokazać to wyznaczenie...?


Maciek

[Maciek]

(.....).
PS. Co rozumie się przez pojęcie hiperbola?

To, co podaje definicja. Zob. odp. Damiana obok.

Po prostu krzywą wyznaczoną przez dwie prostopadłe asymptoty?

W żadnym razie.

Po pierwsze, nie należy ograniczać się do prostopadłych;
nie wszystkie hiperbole mają asymptoty prostopadłe.

Po drugie wiele różnych hiperbol może mieć te same
asymptoty, nie można więc powiedzieć, że hiperbola
jest *wyznaczona* przez asymptoty.

A po trzecie istnieje nieskończenie wiele krzywych,
mających te same dwie asymptoty. I nie wszystkie są
hiperbolami.

Mam wykres funkcji y=1/x i y=1/x^2. Wykres pierwszej
jest wykresem funkcji homograficznej (o którym w szkole
mówiliśmy, że jej wykresem jest hiperbola).

Należałoby dodać: hiperbolą równoosiową.

Z kolei funkcja druga jest parzysta, jej wykres
nie ma środka symetrii. Można o niej także
powiedzieć, że jej wykresem jest hiperbola?

Nie. Chyba że stwierdzisz, że wykres ten spełnia
warunki (ma własności) opisane w definicji hiperboli.



Maciek